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Programação Linear E Aplicações (PLA) - Aula 02

Matrizes

Uma versão mais simplificado do que temos em computação, na matemática as matrizes são estruturas de dados compostas exclusivamente por (sidenote: Escalares são os números reais, ou o conjunto dos números reais. ) , organizadas em linhas e colunas, similar a uma tabela.

Apesar da semelhança, não possui “grades”, e são envoltas por parênteses ou colchetes.

$$ A = \begin{bmatrix} 5 & -8 \\ \sqrt{2} & 0 \end{bmatrix} $$

$$ B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & \sqrt{1}{7} \\ 11 & -6 & 41 \end{pmatrix} $$

A nomenclatura de matrizes prioriza o uso de uma única letra maiúscula. O tamanho da matriz, denominado dimensão, é sempre expresso na ordem linha x coluna, podendo ser indicado subscrito ao nome da matriz:

$$A_{2x2} \qquad e \qquad B_{2x3}$$

Note
Obs: Todas as posições da matriz devem ser preenchidos com algum valor, nem que seja zero. Isto é, campo “vazio” são proibidos!

Para referenciar elementos individuais da matriz, usamos a letra minúscula do nome da matriz, com a “posição”/endereço também subscrito, opcionalmente separado por vírgula:

$$ a_{21} = \sqrt{2} \qquad b_{1,3} = \frac{1}{7} $$

Ao generalizar a notação de matriz, padronizamos inicialmente com a seguinte nomenclatura:

  • A: Nome da matriz em maiúscula
  • m: total de linhas da matriz
  • n: total de colunas da matriz
  • a: elemento da matriz em minúscula
  • i: posição de linha do elemento na matriz
  • j: posição de coluna do elemento na matriz

$$ A_{mxn} = \begin{bmatrix} a_{ij} & a_{ij} \\ \end{bmatrix} $$

Tipos Especiais de Matriz

  • Matriz Linha/Coluna/Vetor

Matrizes de uma única linha, ou única coluna:

$$ V_{3x1} = \begin{bmatrix} 7 \\ 2 \\ 8 \end{bmatrix} \qquad L_{1x4} = \begin{bmatrix} -3 & 3 & 6 & -6 \end{bmatrix} $$

  • Matriz Quadrada

Como o nome sugere, possuem o mesmo valor de linhas e colunas (n = m). Possui várias propriedades e subclassificações como as diagonais.

Ex:

$$ Q_{3x3} = \begin{bmatrix} \bold{4} & -5 & \color{red} 0 \\ 1 & \color{red}{\bold{3}} & 7 \\ \color{red}{2} & -1 & \bold{6} \end{bmatrix} $$

Onde:

  • Principal (negrito): i=j

  • Secundária (vermelho): i+j = m+1

  • Matriz Triangular Superior/Inferior

São quadradas com todo os elementosacima OU abaixo da diagonal principal sendo nulos.

Ex:

$$ TS = \begin{bmatrix} 4 & -5 & 1 \\ _0 & 3 & 7 \\ _0 & _0 & 6 \end{bmatrix} \qquad TI = \begin{bmatrix} 4 & _0 & _0 \\ 1 & 3 & _0 \\ 2 & -1 & 6 \end{bmatrix} $$

  • Matriz Diagonal/Identidade

São quadradas com todos os elementos acima E abaixo da diagonal principal são nulos. Se a diagonal conter somente 1(um), a matriz é chamada de identidade.

Ex:

$$ D = \begin{bmatrix} 4 & _0 & _0 \\ _0 & 3 & _0 \\ _0 & _0 & 6 \end{bmatrix} \qquad I_3 = \begin{bmatrix} 1 & _0 & _0 \\ _0 & 1 & _0 \\ _0 & _0 & 1 \end{bmatrix} $$