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Matemática Discreta - Aula 07

Matrizes

Matriz $A_{m \times n}$ onde:

  • $A$ = nome da matriz
  • $m$ = número de linhas
  • $n$ = número de colunas
  • $m\times n$ = ordem da matriz

Matrizes possuem elementos denotados por: $a_{ij} \qquad \text{ ou } \qquad a_{i,j}$ Onde i e j são, respectivamente, posição na linha e posição na coluna. $$ \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \ \vdots& \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}| $$

[!note] Matrizes quadradas Ocorre quando o número de linhas é igual ao número de colunas. $A_{m\times m}$

^50f502

Exemplo 1

Construa a matriz $A_{3\times 2}$ em que seus elementos seguem a regra: $$a_{ij} = 2{i+j}$$

Solução: $$ \begin{align} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \ a_{ij} = 2i+j \ \ A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \ 5 & 6 \ 7 & 8 \end{pmatrix} \end{align} $$

Igualdade de Matrizes

A = B se e somente se $a_{ij} = b_{ij}, \forall_{ij}$

Traço de uma matriz

Dada uma matriz quadrada $A_{n\times n}$, então: $tr(A) = \sum_{k=1}^{n}a_{kk}$

Exemplo 2

Se $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 4 \ 3 & 1 & 7 \ 2 & 0 & -3\end{pmatrix}$ então $tr(A) =$ ?

Solução: $$ tr(A_{3\times 3}) = \sum_{k=1}^{3}a_{kk} => a_{11} + a_{22} + a_{33} \qquad 5 + 1 -3 = 6 $$

Matriz Transposta

Se $A$ tem ordem $m\times n$, a sua transposta $A^t$ tem ordem $n\times m$. Os elementos das linhas A se tornam colunas de $A^t$.

[!note] Observação se $B = A^t$, então $b_{ij} = a_{ji}$

Exemplo 3

Qual a transposta da matriz do [[#Exemplo 1]]?

solução:

$$ \begin{align}

A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \ 5 & 6 \ 7 & 8 \end{pmatrix} \ \ \

A^t = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 7 \ 4 & 6 & 8 \end{pmatrix} \

\end{align} $$

Operações Matriciais

Produto por constante

  • $k \in R^*$
  • $A_{m\times n} $$R_{m\times n} = k \cdot A \qquad r_{ij} = k\cdot a_{ij}$$
Exemplo 4

Se $A = \begin{pmatrix}-3 & 5 \ 7 & 4\end{pmatrix}$, então $R=k\cdot A$ onde $k = \frac{1}{2}$ será?

solução

$$ R = \begin{pmatrix} \frac{-3}{2} & \frac{5}{2} \ \frac{7}{2} & 2 \end{pmatrix} $$

[!note] Multiplicar uma matriz por uma constante: basta pegar cada elemento e multiplicar pela constante.

Soma e Subtração de Matrizes

  • $R = A+B$ somente se $A_{m\times n}$ e $B_{m\times n}$
  • Isto é, somente se as matrizes tiverem o mesmo número de linhas e colunas.
  • OBS: A+B = B+A
  • $r_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$

Subtração

  • $R=A-B$ mantendo os mesmos princípios do dito acima. No entanto, $A-B \neq B - A$, pois há a possibilidade de troca de sinais.
Exemplo 5

$A = \begin{pmatrix}4 & -2 \ -1 & 3\end{pmatrix} \quad + \quad B=\begin{pmatrix}1,5 & 3 \ -5 & 0\end{pmatrix}$

Solução: $$ R = \begin{pmatrix}5,5 & 1 \ -6 & 3\end{pmatrix} $$

Exemplo 6

Se $a_{ij} = i^j + 3j$ e $b_{ij} = i \cdot j$, determine $r_{24}$ da resultante de $R=A-B$ sendo A e B da mesma ordem.

Solução: $$ \begin{align} A = \begin{pmatrix} 4 & 7 & 10 & 13 \ 5 & 10 & 17 & 28 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \ 2 & 4 & 6 & 8 \end{pmatrix} \ \ R = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 7 & 9 \ 3 & 6 & 11 & 20 \end{pmatrix} \end{align} \ \ \text{portanto: } r_{24} = 20 $$

Multiplicação de Matrizes

$$R_{m\times n} = A_{m\times p} \cdot B_{p\times n}$$

Logo que vemos tal relação, percebemos uma certa condição $p$ para que possamos encontrar o produto entre matrizes. Esta condição ocorre quando o número de colunas da matriz que está à esquerda for igual ao número de linhas da matriz que está à direita.

Obs: $A \cdot B \neq B \cdot A$

Beleza, verificamos a possibilidade da operação, mas como é ela de fato?

$r_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} \cdot b_{kj}$

Exemplo 7

$$ \begin{align} A & = \begin{pmatrix} 2 & 4 \ 5 & 2 \ 3 & 1 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1 & 2 \ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \ \ \ & \begin{pmatrix} (a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21}) & (a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22}) & (a_{11} \cdot b_{13} + a_{12} \cdot b_{23}) & (a_{11} \cdot b_{14} + a_{12} \cdot b_{24}) \ (a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21}) & (a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22}) & (a_{21} \cdot b_{13} + a_{22} \cdot b_{23}) & (a_{21} \cdot b_{14} + a_{22} \cdot b_{24}) \ (a_{31} \cdot b_{11} + a_{32} \cdot b_{21}) & (a_{31} \cdot b_{12} + a_{32} \cdot b_{22}) & (a_{31} \cdot b_{13} + a_{32} \cdot b_{23}) & (a_{31} \cdot b_{14} + a_{32} \cdot b_{24}) \ \end{pmatrix} \ \ \ & R = \begin{pmatrix} 22 & 20 & 10 & 8 \ 31 & 18 & 9 & 12 \ 18 & 10 & 5 & 7 \end{pmatrix} \end{align} $$

Se tivéssemos que encontrar um valor resultante específico, como por exemplo $r_{32}$:

$$ \begin{align} r_{32} = \sum_{k=1}^2a_{3k} \cdot b_{k2} \ = a_{31} \cdot b_{12} + a_{32} \cdot b_{22} \ = 3\cdot2 + 1\cdot4 \ = 6+4 = 10. \end{align} $$

Determinante

Dada uma matriz quadrada $A_{n\times n}$, então é possível calcular o seu determinante.

$$ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n}sgn(\sigma)\prod_{i=1}^na_{i,\sigma_i} $$

Determinante de uma matriz $A_{1\times 1}$ sempre será seu único elemento.

No entanto, quando a ordem da matriz passa a aumentar temos algo da seguinte maneira:

Ex 2x2

$$ \begin{align} A_{2\times 2} \

\det(A) = \det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \ \ = a_{11} \cdot a_{22} - a_{21} \cdot a_{12} \end{align} $$

Assim, suponha uma matriz: $\begin{pmatrix} 5 & 3 \ 2 & -8 \end{pmatrix}$, qual o determinante?

solução: $$ (5 \cdot -8) - (3 \cdot 2) = -40 - 6 = -46 $$

Ex 3x3

$$ \begin{align} A_{3\times 3} \

\det(A) = \det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \

= +[a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}] \- [a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} + a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} + a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}] \end{align}$$

Assim, suponha a matriz: $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & -1 & 4 \ 1 & -3 & 2 \end{pmatrix}$, qual o determinante?

solução: $$ \begin{align} +[(1 \cdot -1 \cdot 2) + (2 \cdot 4\cdot 1) + (3 \cdot 2 \cdot -3)] - [(3 \cdot -1 \cdot 1) + (2 \cdot 2 \cdot 2) + (1 \cdot 4\cdot-3)] \ \

  • [-2+8+(-18)] - [-3 + 8 + (-12)] = \
  • [-12] - [-7] = -12 + 7 = -5 \end{align}

$$

Regra de Laplace

Pode ser utilizada para o cálculo determinante de uma matriz qualquer $A_{n\times n}$

Nós precisamos, no geral, escolher uma linha ou coluna para “fixar”, de preferência a que tiver o maior número de zeros, pois os produtos ficarão mais fáceis de serem calculados.

Tendo essa linha ou coluna de referência, o próximo passo é realizar a seguinte operação:

Caso fixe uma linha “i”

$$ \begin{align} A_{n\times n} \text{ onde } \ \det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot A_{ij} \ \end{align} $$

Caso fixe uma coluna “j

$$ \begin{align} A_{n\times n} \text{ onde } \ \det(A) = \sum_{i=1}^n a_{ij} \cdot A_{ij} \ \end{align} $$

[!important] Observe: O segundo elemento $A_{ij}$ não é o elemento da matriz, mas uma outra matriz a qual veremos mais abaixo.

[!question] O que é essa matriz “A” como segundo elemento da soma?

são os cofatores, representados pela seguinte expressão:

$A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot C_{ij}$

Um novo termo. O que é, afinal o Cij? Cij é o determinante da matriz obtida eliminando a linha i e a coluna j da matriz original.

– sim, eu também estou confuso –

No exemplo entenderemos de modo mais fácil:

EXEMPLO

Calcule o determinante da seguinte matriz:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \ 2 & 1 & 3 & 2 \ 4 & 2 & 1 & 1 \ 1 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Escolhendo a 3ª linha, temos:

$$ \begin{align} \det(A) = \sum_{j=1}^4a_{ij} \cdot A{ij} \ = a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + a_{i3} \cdot A_{i3} + a_{i4} \cdot A_{i4} \ \ i= 3 \implies a_{31} \cdot A_{31} + a_{32} \cdot A_{32} + a_{33} \cdot A_{33} + a_{34} \cdot A_{34} = \ 4 \cdot A_{31} + 2 \cdot A_{32} + 1 \cdot A_{33} + 1 \cdot A_{34} \ \ \ \ (A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot C_{ij})\ \ \ \ 4 \cdot (-1)^{3+1}\cdot C_{31} \+ 2 \cdot (-1)^{3+2}\cdot C_{32} \+ 1 \cdot (-1)^{3+3}\cdot C_{33} \+ 1 \cdot (-1)^{3+4}\cdot C_{34} \ \ \ \ = 4 \cdot 1\cdot C_{31} \+ 2 \cdot -1\cdot C_{32} \+ 1 \cdot 1\cdot C_{33} \+ 1 \cdot -1\cdot C_{34} \ = 4 \cdot C_{31} - 2 \cdot C_{32} + 1 \cdot C_{33} -1\cdot C_{34} \ \ \ 4 \cdot \det\begin{pmatrix}3 & 2 & 4 \ 1 & 3 & 2 \ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} - 2 \cdot \det\begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \ 2 & 3 & 2 \ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} + \det\begin{pmatrix}1 & 3 & 4 \ 2 & 1 & 2 \ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} - \det\begin{pmatrix}1 & 3 & 2 \ 2 & 1 & 3 \ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix} \end{align} $$

enfim, aí, daqui pra frente temos duas opções:

  1. Usar laplace novamente e encontrar outros determinantes de matrizes menores, OU;
  2. Usar sarrus ([[#Ex 3x3]]) e calcular o determinante das matrizes 3x3.

Eu particularmente prefiro utilizar sarrus para estas matrizes 3x3. Então ficaria (já tendo resolvido a determinante de cada uma delas sendo, -20, -4, 16, 6):

$$ \begin{align} & (4 \cdot -20) + (-2\cdot-4)+(1\cdot16)+(-1\cdot6)\\ & -80 + 8 + 16 - 6 = -62 \end{align} $$

O resultado da determinante então é -62.

Matriz identidade

Dada uma matriz $I_{n\times n}$, então $$ I = {1, \text{ se i=j} || \quad 0, \ \text{caso contrário} $$ Ou seja, numa matriz $I_{3\times3}$ a matriz identidade será: $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Matriz Inversa

Dada uma matriz $A_{n\times n}$ tal que a $\det(A) \neq 0$, então a matriz $A^{-1}$ que é a inversa de $A$ será uma matriz tal que: $$ A^{-1} \cdot A = I \ \ \ \text{e} \ \ \ \ \ A \cdot A^{-1} = I $$

Técnica 1

Determine a inversa de A resolvendo um sistema linear, tal que $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$

Assim, temos que $A \cdot A^{-1} = I$ e a $\det(A) = -2$.

$$ \begin{align} & \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x & y \ w & z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \ \ & \text{Faça a multiplicação entre as matrizes} \ \ & \begin{pmatrix} 1x+2w & 1y + 2z \3x+4w & 3y+4z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \ \ & \text{agora temos um sistema para montar: } \ \ & \begin{cases} 1x+2w=1 \ 1y+2z = 0 \ 3x+4w = 0 \ 3y+4z = 1 \end{cases} \ \ & \text{agora basta resolvermos com o auxílio do isolamento} \ \ & y + 2z = 0 \implies y = -2z \ & \text{trocaremos o y na outra equação} \ \ & 3(-2z) + 4z = 1 \implies -6z+4z = 1 \implies -2z = 1 \ & \implies -z = \frac{1}{2} \implies z = -0,5 \ & \implies y = -2z \implies y = 1 \ \ & \text{agora isolamos outra variável} \ \ & 3x + 4w = 0 \implies 4w = -3x \implies w = \frac{-3x}{4} \ \ & \text{substitui o w…} \ \ & x + 2w = 1 \implies x + 2(\frac{-3x}{4}) = 1 \implies x+2(-0,75x) = 1 \ &\implies x-1,5x = 1 \implies -0,5x = 1 \implies x = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2 \ &\implies x=-2 \ \ & \text{por fim, substitui o x para encontrarmos o w} \ \ & 3(-2) + 4w = 0 \implies -6+4w = 0 \implies 4w = 6 \ &\implies w = \frac{6}{4} = 1,5 \ \ & A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \ 1,5 & -0,5 \end{pmatrix} \end{align} $$