Matemática Discreta - Aula 02
Conteúdo da Aula - Teoria de Conjuntos
De forma usual, podemos dizer que um conjunto é como se fosse uma sacola que possui elementos dentro dela. De forma geral, um conjunto é denotado por letras maiúsculas como 𝐴, 𝐵, 𝐶, dentre outras, e os elementos são alocados entre chaves para a formação deste conjunto.
$A ={1,2,3,4,\dots} \quad B={1,2,3,\dots,10}$
- Os conjuntos podem ser infinitos ou finitos. A representação deles muda conforme o exemplo acima, onde A é infinito e B, finito.
- Os elementos pertencem a um conjunto. Assim, num outro exemplo de dias da semana, temos: $C={Segunda, terça, quarta, \dots, domingo}$
- E assim, podemos dizer: $sábado \in C$ que significa “Sábado pertence a C”.
- Os grupos podem ter subconjuntos. Seguindo no exemplo acima, escrevamos o subconjunto D que receba os dias de fim de semana $D={sábado, domingo}$. Com isso, podemos dizer que “D está contido no grupo C” → $D\subset C$
Conjuntos Especiais
Conjunto Universo (ou Ômega) - De alguma maneira el\e contém todas os elementos possíveis.
- Símbolo: $U \text{ ou }\ \Omega$
Conjunto Vazio - Conjuntos que não contém nenhum valor.
- Símbolo: ${\} \text{ ou } \emptyset$
Número de elementos - Dado o conjunto $A$, o número de elementos é denotado por cardinalidade
- Símbolo: $n(A) \text{ ou } #(A)$
- Assim, no conjunto $A$ do primeiro exemplo, temos: $n(A)=7$
Importante
Conjuntos NUNCA pertencem a outro conjunto, mas estão contidos ou contém. Os elementos, por sua vez, pertencem a determinado conjunto.
Uniões
$A \cup B ={x \in A \text{ ou } x \in B}$ ^7da842
Exemplo: $A={2, 3, 4} \text{ e } B={3,4,5,6,7}$ Assim, $A \cup B = {2,3,4,5,6,7}$
Importante notar, e gravar bem na cabeça, que estamos utilizando na lógica proposicional o OU, isto é, neste caso, estamos falando do que está em um, ou no outro: o todo dos conjuntos sem repetições.
![[Pasted image 20230815202020.png]]
Podemos, em uniões, utilizar das mesmas outras questões. Assim dizendo: $n(A \cup B)=6$
Intersecção entre conjuntos
$A \cap B={x \in A \text { e } x \in B}$ ![[Pasted image 20230815202530.png]] ^2a349c
Neste caso sim, ainda falando um pouco de lógia proposional, estamos utilizando o E, delimitando que o resultado de $A \cap B$ sejam somente os elementos que aparecem nos dois.
Exemplo: Determine $A\cap B$ do exemplo da [[#Uniões]]
$$ A\cap B={3,4} $$
Diferença entre conjuntos
$A \setminus B ={x \in A \text{ e } x \notin B}$ ^16e840
Isto é, algum elemento que esteja em um conjunto, e determinante não pode estar no outro conjunto.
Exemplo: $A={0,1,2} \quad B={1,2,3,4}$ $A\setminus B = {0}$
![[Pasted image 20230815204008.png]]
Diferenças Simétricas
É o Conjunto de elementos que estão em um dos conjuntos (ou seja, a união de dois) mas que não estejam em sua intersecção:
símbolo: $A\Delta B \text{ ou } A \oplus B$ sendo: $A\Delta B=(A\cup B)\setminus (A \cap B)$ (Em português: A união dos dois conjuntos é tudo, mas estou tirando a intersecção $\iff$ podendo ser representado assim: $A\Delta B={(A\setminus B) \cup (B\setminus A)}$
Ou seja, são os elementos que não são comuns a um E o outro. Assim, faça: $A \Delta B$
$$A={1,2,3,4} \quad B={2,3,4,5} \qquad A\Delta B={1,5}$$
Conjunto Complementar
Dado $A \subset \Omega$ , o que falta? Este que falta é o conjunto complementar. Representamos da seguinte maneira: $$ A^c = \Omega \setminus A $$ Exemplo: $$ \begin{align} \Omega={x \in \mathbb{Z} | 2 \lt x \le 8} \ \text{e} \ A={5, 6, 7, 8} \ \text{determine } A^c \end{align} $$
Assim, temos no enunciado que o Total, o $\Omega$, contém $x$ que pertence aos inteiros sendo que X tem de estar entre dois, até 8. (entre pois é maior que 2; até, pois o 8 está incluso no menor igual $\le$)
Resultado: $A^c={3,4}$
Uma outra representação de número complementar é a seguinte $$ C_B^A = B \setminus A $$ Assim, temos a seguinte sentença:
Preciso encontrar o que falta em A para que ele se equipare a B, assim eu retiro de B o que tem em A e a sobra é o complementar de A em B. Meio louco, mas é interessante saber
Relação entre número de elementos da união e intersecção
Para fazermos isso, devemos: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A\cap B)$
- #todo/pesquisar regra e exceção, falácia e paradoxo