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Matemática Discreta - Aula 01

Matemática Discreta

Conteúdo

  • Matemática Básica.
  • Teoria de Conjuntos
  • Lógica Proposicional
    • Conectivos
    • Lógica Binária
    • Verdadeiro ou Falso
      • Lógica Fuzzie #todo/pesquisar
  • Análise Combinatória
    • Princípio Indutivo, Multiplicativo, Permutações, Arranjos, Combinações…
  • Indução Finita
    • Uma parte mais formal da matemática. A idéia é: Se eu consigo provar que algo é válido para um elemento, ou n elementos, Se é válido para o primeiro e válido para os N elementos, N+1 é verdadeiro tamebém.
  • Somatória e Produtórios
  • Relações
    • Intimamente ligada às funções.
  • Matrizes
    • Parte importantíssima dentro de qualquer área computacional.
  • Grafos
    • Lá no fim do curso, talvez não dê tempo de chegar. Ex: Rede Social onde duas pessoas se conhecem, mas um conhece outros dois, que conhecem mais e um desses mais conhecem um dos primeiros…. São vários vértices e arestas para que o programa consiga comunicar. Assim como no Google Maps. Ótimo para otimizar processos.

Matemática Básica

  • Referências:
    • AULA1_Revisao_Mat_Basica.pdf (disponibilizado pelo Professor);
    • LIPSCHUTZ, S., LIPSON, M. Matemática Discreta 2ª Ed.
Regras de Sinais

Dado os números reais $x$ e $y$, temos:

  • $x>0$ e $y>0$, então: $x×y>0$ e $x\div y>0$
  • $x<0$ e $y<0$, então: $x×y>0$ e $x\div y>0$
  • $x>0$ e $y<0$, então: $x×y<0$ e $x\div y<0$
  • $x<0$ e $y>0$, então: $x×y<0$ e $x\div y<0$

Assim: para $x=2$ e $y=5$: $x×y = (2)×(5) =$ $(+2)×(+5) =$ $+(2)×(5) =$ $+10 =$ $10$

E para $x=8$ e $y=-5$: $x \div y =$ $8 \div -5 =$ $(+8) \div (-5) =$ $-(8 \div 5)$ OU $-\frac{8}{5} =$ $-1,6$

Operações

Em matemática, um conjunto é caracterizado por seus elementos e pelas operações que estes podem realizar. Estas últimas sempre irão cumprir com algumas propriedades fundamentais para a realização dos cálculos dos problemas.

Adição e Multiplicação

Quanto as operações de adição (soma) e multiplicação, as propriedades que se cumprem são as seguintes:

  • Comutativa Quaisquer que sejam dois números reais, sempre se tem: $a+b=b+a$ e $ab=ba$

  • Associativa Quaisquer que sejam os números reais a, b e c, sempre se tem: $(a+b)+c=a+(b+c)$ e $a(bc) = (ab)c$

  • Elemento Neutro Existem únicos números reais, indicados pelo $0$ e pelo $1$, tais que, para qualquer número real, se cumpre: $a+0=a$ e $a×1=a$

  • Elemento Oposto e Elemento Inverso

    1. Dado um número real $a$, existe um único número real, indicado por -a, chamado de oposto, tal que $a+(-a)=0$.

    2. Dado um número real $b\neq0$, existe um único número real indiciado por $\frac{1}{b}$ ou por $b^{-1}$, chamado de inverso multiplicativo de $b$, tal que $b×\frac{1}{b} = 1$

  • Distributiva quaisquer que sejam $a$, $b$ e $c$ reais, tem-se: $a(b+c)=ab+ac$ e $(b+c)a=ba+ca$

Subtração

A diferença entre $a$ e $b$, indicada por $b-a$, é definida por $b-a=b+(-a)$. Consequentemente, para todo $a$ e $b$ reais, obtemos:

  • $-(a+b)=-a-b$;
  • $a(b-c)=ab-ac$;
  • $(b-c)a=ba-ca$;

Assim, um número sempre irá fazer 180° quando confrontado pelas operações.

$$ \require{enclose} \begin{array}{ccccccccc}
\Large{\enclose{circle}{-5}} & \xleftarrow{5} & \Large{\enclose{circle}{0}} & \xrightarrow{5} & \Large{\enclose{circle}{5}} \end{array} $$

Potenciação

Sendo $a$ um número real:

  • $a^1=a$
  • $a^n=a×a×a×a×a$…. (n fatores) se $n = \in I$
  • Se $a\neq0$, podemos estender essa definição para $n$ inteiro, e assim: $a^0=1$ $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, n = 1,2,3,4,5…
    • Obs: O motivo de, elevarmos um número à 0 e o resultado ser $1$, é que todas as propriedades de potenciação continuam válidas. Ou seja, para todo $n$ inteiro positivo, podemos escrever da seguinte maneira: $a^0=a^{n-n}=\frac{a^n}{a^n}=1$ tornando não verdadeira, se $a^0$fosse definido por qualquer outro valor que não$1$. `
Regras da Potenciação

Sendo $a$ e $b$ números reais, não nulos, $m$ e $n$ inteiros, tem-se:

  • $a^{m+n} = a^m×a^n$
  • $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$
  • $(a^m)^n = a^{mn}$
  • $(ab)^n=a^n×b^n$
  • $(\frac{a}{b})^m = \frac{a^m}{b^m}$
Divisão
  • o Quociente de $b$ por $a$, onde $a\neq0$, indicado por $\frac{b}{a}$, é definido por $\frac{b}{a}b×\frac{1}{a}$ onde $b$ é referido como numerador e $a$ como denominador. Também referimos como fração.
    • Regras
    • Sejam $a$, $b$, $c$ e $d$ diferentes de zero, então:
      • $\frac{a}{a} = 1$
      • $\frac{-b}{a}=\frac{b}{-a}=-\frac{b}{a}$ ^d208cd
      • $\frac{-b}{-a} = \frac{b}{a}$
      • $\frac{a}{c}×\frac{b}{d} = \frac{ab}{cd}$
      • $\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{d}} = \frac{a}{c}×\frac{d}{b}$
      • $\frac{a}{c}+\frac{b}{c} = a×\frac{1}{c}+b×\frac{1}{c} = (a+b)×\frac{1}{c}=\frac{a+b}{c}$
      • $\frac{a}{c}+\frac{b}{d} = \frac{a}{c}×\frac{d}{d}+\frac{b}{d}×\frac{c}{c} = \frac{a×d}{c×d}+\frac{b×c}{c×d} = \frac{ad+bc}{cd}$
Logarítmos

Logaritmos são relacionados à [[#Potenciação]]. Assim, tendo $k$ como um número positivo, e representado pelo $\log_k(x)$ representa o expoente ao qual $k$ precisa ser elevado para obter $x$. Como exemplo afirmativo da sentença anterior, temos: $\log_28=3$ já que $2^3=8$ Dados os números reais $x>0$, $k>0$ e $k \neq 1$, temos:

  • $\log_k(x) = y \iff x = k^y$
  • $\log_k(1)=0$
  • $\log_k(k)=1$
  • $\log_k(x^n)=n×\log_k(x)$
  • $\log_k(x)=\frac{\log_z(x)}{\log_z(k)}$ com $z>0$ e $z \neq 1$ (mudança de base)
Hierarquia das Operações
  1. Parênteses
  2. Expoentes
  3. Produto e divisão
  4. Soma e subtração
  • SEMPRE DA ESQUERDA PARA DIREITA
  • Funções são realizadas primeiro, sempre (expoente, seno, logaritmo…)

Assim, para resolvermos a equação $x = \log_216 + 30 \div 3 × (12-2) + 5 × 2^3$

  1. Tendo em vista que as funções sempre virão primeiro, e sempre da esquerda para a direita, realizaremos o logaritmo e a potenciação/expoente.
    1. $x = 4 + 30 \div 3 × (12 - 2) + 5 × 8$
  2. Em seguida, realizaremos o que está dentro dos parênteses:
    1. $x= 4+30 \div 3 × 10 + 5 × 8$
  3. Agora, multiplicações e divisões, sempre vindo da esquerda para a direita.
    1. $x = 4 + 10 × 10 + 5 × 8$
    2. $x = 4 + 100 + 5 × 8$
    3. $x = 4 + 100 + 40$
  4. Por fim, realizamos as somas e subtrações.
    1. $x = 104 + 40$
    2. $x = 144$

Sendo assim, Realizo aqui as etapas para os primeiros 3 exercícios da Lista passada em sala.

  1. a) $p= -(-5)$ Portanto $p=5$

    b) $\Delta = b^2-4ac$ onde: $a= 2$, $b=-7$, $c=-5$ $\Delta = (-7^2) - 4×2×(-5) =$ $\Delta = 49 -(-40)$ $= 89$

    c) $r = \frac{x-y}{y-x}$ Sendo $x=-3$ e $y=2$ $r=\frac{(-3)-2}{2-(-3)}$ $r = \frac{-5}{5}$ $r = -\frac{5}{5}$ (cf. [[#^d208cd|Item 2 da Seção sobre a Divisão]]) $r = -1$

Matemática Discreta - Aula 01