Estatística - Aula 11: Estimação E Intervalo De Confiança

Estatística - Aula 11: Estimação e Intervalo de Confiança

Conceitos Principais

A estimação é um dos pilares da estatística inferencial, permitindo que façamos generalizações sobre uma população inteira baseando-nos apenas em dados de uma amostra. Esta aula abordou os fundamentos da estimação e como construir intervalos de confiança para parâmetros populacionais.

Estatística Inferencial

A estatística inferencial tem como objetivo fazer generalizações para a população a partir de dados coletados de uma amostra. Este processo é fundamental quando não é possível ou viável coletar dados de todos os elementos de uma população.

AMOSTRA → Análise Estatística → CONCLUSÕES SOBRE A POPULAÇÃO

O desafio está em quantificar a incerteza inerente a esse processo de generalização.

Nota Importante A qualidade das conclusões sobre a população depende diretamente da representatividade da amostra coletada. Uma amostra mal selecionada pode levar a conclusões incorretas, independentemente da sofisticação dos métodos estatísticos aplicados.

Conceito de Estimação

Estimação é o processo de determinar um intervalo chamado de Intervalo de Confiança (IC) que contém a probabilidade de um parâmetro populacional (como a média) estar nesse intervalo, considerando um nível de confiança específico.

Tipos de Estimação

1. Estimação por Ponto

A estimação por ponto fornece um único valor como estimativa do parâmetro populacional.

Exemplo: Uma pesquisa com 400 pessoas revelou que 300 consideram a administração municipal boa ou ótima. A estimativa por ponto seria:

p = 300/400 = 75%

Este valor (75%) é nossa melhor estimativa pontual para a proporção populacional.

2. Estimação por Intervalo

A estimação por intervalo fornece uma faixa de valores que provavelmente contém o parâmetro populacional, junto com um nível de confiança associado.

Exemplos de intervalos de confiança:

• A altura média dos moradores está no intervalo [1,60m; 1,64m]
• A proporção de analfabetos está no intervalo [8%; 10%]
• O desvio padrão do comprimento de peças está no intervalo [37mm; 39mm]

Elementos Fundamentais

Nível de Confiança e Probabilidade de Erro

Para trabalhar com intervalos de confiança, precisamos definir:

Exemplo prático: Para um nível de confiança de 95%:

• β = 0,95 (probabilidade de acertar - o intervalo contém o parâmetro)
• α = 0,05 (probabilidade de errar - o intervalo não contém o parâmetro)

Fórmulas Fundamentais

Erro Padrão de Estimação

O erro padrão quantifica a precisão da nossa estimativa:

E = Z × (σ/√n)  [quando é populacional]
E = Z × (s/√n)  [quando é amostral]

Onde:

• E = Erro padrão
• Z = Valor crítico da distribuição normal
• σ = Desvio padrão populacional
• s = Desvio padrão amostral
• n = Tamanho da amostra

Intervalo de Confiança para a Média

IC = [x̄ - E; x̄ + E]

Ou de forma expandida (que não iremos utilizar).

IC = [x̄ - Z×(σ/√n); x̄ + Z×(σ/√n)]

Resumo e Pontos-Chave

• Estimação por ponto fornece um valor único, enquanto estimação por intervalo fornece uma faixa de valores com nível de confiança associado
• Intervalos de confiança quantificam a incerteza em nossas estimativas, sendo mais informativos que estimativas pontuais
• Quanto maior o nível de confiança, maior será a largura do intervalo (trade-off entre confiança e precisão)
• Amostras maiores resultam em intervalos mais estreitos (maior precisão)
• O valor Z varia conforme o nível de confiança.

Exercícios de Aplicação

Exercício 1

$$ \begin{align} n = 144 \\ \bar{x} = 100 \\ s = 60 \\ N = 1000 \\ \\ E = Z \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \\ E = Z \cdot \frac{60}{\sqrt{144}} \\ E = Z \cdot \frac{60}{12} \\ E = Z \cdot 5 = 1.96 \cdot 5 = 9.8 \\ IC = [\bar{x} - E; \bar{x} + E] \\ IC = [100 - 9.8; 100 + 9.8] \\ \color{red} IC = [90.2; 109.8] \end{align} $$

Exercício 2

$$ \begin{align} s = 5 \\ n = 100 \\ \bar{x} = 500 \\ \alpha = 0.01 \\ \beta = 0.99 / 2 = 0.495 \\ Z = 2.58 \\ E = Z \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \\ E = 2.58 \cdot \frac{5}{\sqrt{100}} \\ E = 2.58 \cdot \frac{5}{10} \\ E = 2.58 \cdot 0.5 \\ E = 1.29 \\ IC = [\bar{x} - E; \bar{x} + E ] \\ IC = [500 - 1.29; 500 + 1.29] \\ \color{red} IC = [498.71; 501.29] \\ \end{align} $$

Exercício 3 a)

n = 100
s = 5
x̄ = 500
E = 0.98
IC = [500-0.98; 500+0.98] $$ \begin{align} E = Z \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \\ 0.98 = Z \cdot \frac{5}{\sqrt{100}} \\ 0.98 = Z \cdot \frac{5}{10} \\ 0.98 = \frac{Z \cdot 5}{10} \\ 9.8 = Z \cdot 5 \\ \frac{9.8}{5} = Z = 1.96 \\ \color{red} Z = 1.96 = 0.47558 * 2 = \beta = 0.95 \end{align} $$

Exercício 3 b)

s = 30
$$\beta = 0.85 / 2 = 0.425$$
Z = 1.44
IC = [500-3.16; 500+3.16]
E = 3.16 \

$$ \begin{align} E = Z \cdot \frac{s}{sqrt{n}} \\ 3.16 = 1.44 \cdot \frac{30}{\sqrt{n}} \\ 3.16 = \frac{43.2}{\sqrt{n}} \\ 3.16 \cdot \sqrt{n} = 43.2 \\ \sqrt{n} = \frac{43.2}{3.16} \\ \sqrt{n} = 13.67 \\ \color{red} n = 186,86 \approxeq 187 \\ \end{align} $$

Exercícios para entregar

Exercício 1

$$ \begin{align} \beta = 0.90 / 2 = 0.45 \\ Z = 1.64 \\ E = 1.64 \cdot \frac{2}{\sqrt{60}} \\ E = 1.64 \cdot \frac{2}{7.74} \\ E = 1.64 \cdot 0.258 \\ E = 0.42 \\ IC = [15,2 - 0.42; 15,2 + 0.42] \\ \color{red} IC = [14.77; 15.62] \end{align} $$

Exercício 2

A)

$$ \begin{align} Z = 1.96 \\ E = 1.96 \cdot \frac{15}{sqrt{100}} \\ E = 1.96 \cdot 1.5 \\ E = 2.94 \\ IC = [170 - 2.94; 170+2.94] \\ \color{red} IC = [167,06; 172,94] \end{align} $$

B)

E = 3.18
$$\beta = 0.85 / 2 = 0.425$$
Z = 1.44 \

$$ \begin{align} E = Z \cdot \frac{s}{sqrt{n}} \\ 3.18 = 1.44 \cdot \frac{30}{sqrt{n}} \\ 3.18 \sqrt{n} = 43.2 \\ \sqrt{n} = \frac{43.2}{3.18} \\ \sqrt{n} = 13.58 \\ \color{red} n = 184,41 \approxeq 184 \end{align} $$

C)

E = 2,08 \

$$ \begin{align} 2,08 = Z \cdot \frac{30}{sqrt{225}} \\ 2,08 = Z \cdot 2 \\ Z = 2,08 / 2 = 1,04. \\ \color{red} \beta = 0.35 * 2 = 0.70 \text{ou } 70% \end{align} $$

Exercício 3

n = 400 x¯ = 800 N = 50000

A)

$$\alpha = 0.01$$ $$\beta = 0.99$$ Z = 2.58 E = 12.9

$$ \begin{align} 12.9 = \frac{2.58 \cdot s}{\sqrt{400}} \\ 12.9 = \frac{2.58 \cdot s}{20} \\ 2.58 \cdot s = 12.9 \cdot 20 \\ 2.58 \cdot s = 258 \\ \color{red} s = 258 / 2.58 = 100 \end{align} $$

B)

E = 0.98
s = 100

$$ \begin{align} 0.98 = Z \cdot \frac{100}{20} \\ 0.98 = Z \cdot 5 \\ Z = 0.98 / 5 = 0.19 \\ \color{red} \beta = 0.075 * 2 = 0.15 \text{ou } 15% \end{align} $$

C)

s = 100
$$\beta = 0.95 / 2 = 0.425$$ Z = 1.96
E = 7.84 \

$$ \begin{align} 7.84 \sqrt{n} = 1.96 \cdot 100 \\ \sqrt{n} = 196 / 7.84 = 25 \\ \color{red} n = 625 \end{align} $$

Exercício 4

s = 500
n = 15
x¯ = 8900
$$\beta = 0.95 / 2 = 0.425$$
Z = 1.96

$$ \begin{align} E = 1.96 \cdot 500 / \sqrt{15} \\ E = 1.96 \cdot 129.19 \\ E = 253.22 \\ IC = [8900 - 253.21; 8900 + 253.21] \\ \color{red} IC = [8646,79; 9153,21] \end{align} $$