Estatística Aplicada - Aula 9: Distribuição Normal

Estatística Aplicada - Aula 5: Distribuição Normal

Conceitos Principais

A distribuição normal constitui um dos pilares da estatística inferencial, sendo fundamental para modelagem de fenômenos naturais e análise de dados em diversos campos científicos e tecnológicos. Esta aula examina suas propriedades, formulação matemática e aplicações práticas.

Contexto Histórico

A distribuição normal emerge de um rico processo de desenvolvimento histórico, envolvendo alguns dos mais notáveis matemáticos dos séculos XVIII e XIX.

Os principais contribuintes para o desenvolvimento da distribuição normal foram:

• Abraham de Moivre (1730): Matemático francês responsável pela definição inicial da curva normal
• Jacob Bernoulli: Desenvolveu o Teorema dos Grandes Números, base teórica essencial
• Pierre-Simon Laplace (1783): Aplicou a curva para descrever a distribuição de erros em medições
• Carl Friedrich Gauss (1809): Utilizou-a em análises astronômicas, originando o termo “Curva de Gauss”

Formulação Matemática

A distribuição normal é caracterizada pela seguinte função densidade de probabilidade:

f(x) = ∫_{-∞}^{∞} (1/(δ√(2π))) · e^(-(x-μ)²/(2δ²)) dx

Onde:

• μ representa a média (coincidente com a mediana e a moda)
• δ representa o desvio padrão
• δ² corresponde à variância

Propriedades Fundamentais

Distribuição Normal Padrão (Z)

Conceito e Transformação

A distribuição normal padrão, denotada por Z:N(0,1), ocorre quando μ = 0 e δ = 1. Esta padronização é crucial para o cálculo de probabilidades.

A transformação de uma variável normal X para a normal padrão Z é realizada pela fórmula:

Z = (X - μ)/δ

Esta transformação permite utilizar tabelas de valores Z padronizados para cálculos de probabilidade, simplificando significativamente a análise estatística.

Cálculo de Probabilidades

Exemplo Prático 1

Considerando alturas (em metros) de alunos de uma faculdade, distribuídas normalmente segundo X:N(1,724; 0,0025):

Para calcular P(1,67 < X < 1,77):

1. Transformação para Z:

   • Z₁ = (1,67 - 1,724)/0,05 = -1,08
   • Z₂ = (1,77 - 1,724)/0,05 = 0,92

2. Consulta à tabela Z:

   • P(Z < 0,92) = 0,8212
   • P(Z < -1,08) = 0,1401

3. Cálculo final:

   • P(1,67 < X < 1,77) = 0,8212 - 0,1401 = 0,6811 ou 68,11%

Exemplo Prático 2

Para calcular P(X > 1,90) na mesma distribuição:

1. Transformação para Z:

   • Z = (1,90 - 1,724)/0,05 = 3,52

2. Consulta à tabela Z:

   • P(Z > 3,52) = 1 - P(Z < 3,52) = 1 - 0,9998 = 0,0002

3. Interpretação:

   • Apenas 0,02% dos alunos possuem altura superior a 1,90m, demonstrando a raridade de valores distantes mais de 3 desvios padrão da média.

Aplicações em Computação

Áreas de Aplicação

A distribuição normal possui amplas aplicações em sistemas computacionais:

1. Análise de desempenho: Modelagem de tempos de resposta e utilização de recursos
2. Qualidade de software: Distribuição de erros em sistemas complexos
3. Processamento de sinais: Caracterização de ruídos em sistemas eletrônicos
4. Machine Learning: Base para diversos algoritmos e modelos preditivos
5. Testes estatísticos: Fundamento para a maioria dos testes paramétricos

Implementação Computacional

O cálculo de probabilidades da distribuição normal pode ser implementado utilizando bibliotecas estatísticas em linguagens como Java:

import org.apache.commons.math3.distribution.NormalDistribution;

public class DistribuicaoNormal {
    public static void main(String[] args) {
        // Parâmetros da distribuição
        double media = 1.724;
        double desvioPadrao = 0.05;  // sqrt(0.0025)

        // Criar objeto de distribuição normal
        NormalDistribution distNormal = new NormalDistribution(media, desvioPadrao);

        // Cálculo de probabilidades
        double p_a = distNormal.probability(1.67, 1.77);

        System.out.printf("P(1.67 < X < 1.77) = %.4f ou %.2f%%\n", p_a, p_a * 100);
    }
}

Exercícios Práticos

Exercício 1

Uma máquina de produção fabrica peças com diâmetro que segue distribuição normal com média 5,0 cm e desvio padrão 0,02 cm.

Calcule: a) A probabilidade de uma peça ter diâmetro entre 4,97 cm e 5,04 cm. b) A probabilidade de uma peça ser rejeitada se o limite de tolerância for de ±0,05 cm.

Solução:

a) Transformando para Z:
   Z₁ = (4,97 - 5,0)/0,02 = -1,5
   Z₂ = (5,04 - 5,0)/0,02 = 2,0
   P(4,97 < X < 5,04) = P(-1,5 < Z < 2,0) = 0,9772 - 0,0668 = 0,9104 ou 91,04%

b) P(rejeição) = P(X < 4,95 ou X > 5,05) = P(Z < -2,5 ou Z > 2,5) = 2 × 0,0062 = 0,0124 ou 1,24%

Resumo e Pontos-Chave

• A distribuição normal é caracterizada por seu formato de sino simétrico e propriedades matemáticas específicas
• A transformação para distribuição normal padrão (Z) é fundamental para o cálculo de probabilidades
• Aproximadamente 68,26% dos dados em uma distribuição normal encontram-se dentro de ±1 desvio padrão da média
• Aproximadamente 95,45% dos dados encontram-se dentro de ±2 desvios padrão
• Aproximadamente 99,73% dos dados encontram-se dentro de ±3 desvios padrão
• Em computação, a distribuição normal é essencial para análise estatística, qualidade de software e modelagem de fenômenos complexos